αριθμητική

Ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά τους φυσικούς αριθμούς: 1, 2, 3, 4... Η ενασχόληση με τους φυσικούς αριθμούς είναι τόσο παλιά όσο και ο άνθρωπος, η α. όμως ως επιστήμη είναι σχετικά νέα. Ως θεμελιωτής της α. μπορεί να θεωρηθεί o Πυθαγόρας, του οποίου τα συμπεράσματα συνδέονται με εκείνα των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων, αν και τα τελευταία έχουν χαρακτήρα πρακτικό, εμπειρικό (σχετικά με την ιστορία της α., τη γραφή και την ονομασία των ακέραιων, βλ. λ. αρίθμηση). Η α. διαιρείται στη στοιχειώδη και την ανώτερη (ή θεωρία των αριθμών). Εδώ θα γίνει λόγος σχεδόν αποκλειστικά για την πρώτη και μόνο σε ειδικές περιπτώσεις θα αναφερθούμε στην ανώτερη, δηλαδή στη θεωρία των αριθμών. Γραφή και ονομασία των φυσικών αριθμών. Η σημερινή γραφή των φυσικών αριθμών (στο εξής o όρος φυσικός θα παραλείπεται) αποδίδεται στους Ινδούς και στους Άραβες, απαιτεί τη χρήση των δέκα ψηφίων 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και γίνεται με τη χρήση των δυνάμεων του δέκα. Ως νιοστή δύναμη αριθμού α ορίζεται το γινόμενο ν παραγόντων, όλων ίσων με τον α, γράφεται α^ν και διαβάζεται: α στη νιοστή (εάν ν = 2, 3, 4, 5,..., διαβάζεται: α στο τετράγωνο, στον κύβο, στην τετάρτη, στην πέμπτη· οι ειδικές ονομασίες, όταν ν = 2, 3, ανάγονται στη γεωμετρική άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων). Ο ν ονομάζεται εκθέτης και ο α βάση της δύναμης. Είναι εξυπηρετικό να δεχτούμε ότι η δύναμη με εκθέτη 0 ενός οποιουδήποτε αριθμού (διάφορου από το 0) είναι ίση με 1· αυτό υποβάλλεται από τους κανόνες του λογισμού με δυνάμεις και είναι σύμφωνο με αυτούς. Οι δυνάμεις του 10 έχουν ειδικά ονόματα: 10⁰ = 1 = ένα, 10¹ = 10 = δέκα, 10²= 10 x 10 = 100 = εκατό, 10³ = 10 x 10 x 10 = 1.000 = χίλια, 10⁴ = 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 = δέκα χιλιάδες, 10⁵ = 100.000 = εκατό χιλιάδες, 106 = 1.000.000 = ένα εκατομμύριο. Ύστερα έρχονται δέκα, εκατό, χίλια, δέκα χιλιάδες, εκατό χιλιάδες εκατομμύρια (αντίστοιχα, 10⁷, 10⁸, 10⁹, 10¹⁰, 10¹¹) και ένα εκατομμύριο εκατομμύρια = 1 δισεκατομμύριο = 10⁶ x 10⁶ = 10¹². Η αλλαγή της ονομασίας προχωρά από εκατομμύριο σε εκατομμύριο· ένα εκατομμύριο δισεκατομμύρια = 10¹⁸ = 1 τρισεκατομμύριο, ένα εκατομμύριο τρισεκατομμύρια = 10²⁴ = 1 τετράκις εκατομμύριο κλπ. (συνηθίζεται όμως να ονομάζεται δισεκατομμύριο ο αριθμός 10⁹ = 10³ x 10⁶, δηλαδή χίλια εκατομμύρια). H γραφή των αριθμών με τον συμβολισμό των δυνάμεων είναι ισοδύναμη με τον συμβολισμό με μηδενικά (π.χ. 10⁶, δηλαδή ένα εκατομμύριο, γράφεται συνήθως με το 1 και 6 μηδενικά, δηλαδή όσα δηλώνει o εκθέτης)· η πρώτη όμως γραφή είναι πολύ πιο εξυπηρετική, όταν πρόκειται για μεγάλους αριθμούς, και αυτή είναι που χρησιμοποιείται σήμερα στα επιστημονικά βιβλία. Οι τέσσερις πράξεις και οι τυπικές τους ιδιότητες.Η βασική πράξη μεταξύ αριθμών είναι η πρόσθεση, το αποτέλεσμα της οποίας (και όχι η ίδια η πράξη) ονομάζεται άθροισμα. Εάν δοθούν δύο αριθμοί α και β (προσθετέοι), το άθροισμά τους α + β είναι εκείνος ο όρος της ακολουθίας των φυσικών αριθμών ο οποίος λαμβάνεται αν επισυναφθούν στον α τόσες μονάδες όσες αποτελούν τον β ή, αντίστροφα, αν επισυναφθούν στον β τόσες μονάδες όσες αποτελούν τον α. Αυτό συνεπάγεται ότι α + β = β + α (μεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης). Ισχύει ακόμα η προσεταιριστική ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ, κατά την οποία αν με οποιονδήποτε τρόπο δύο ή περισσότεροι προσθετέοι αντικατασταθούν από το άθροισμά τους, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Με τη βοήθεια της πρόσθεσης λύνεται το εξής πρόβλημα: «δοθέντων δύο αριθμών α και β, να βρεθεί ο αριθμός γ = α + β, δηλαδή το άθροισμά τους». Μπορεί ακόμα να τεθεί το αντίστροφο πρόβλημα: «δοθέντων δύο αριθμών α και γ, να βρεθεί ο αριθμός o οποίος όταν προστίθεται στον α, δίνει ως άθροισμα τον γ». Το πρόβλημα αυτό επιδέχεται λύση εάν, και μόνο εάν, ο αριθμός γ (μειωτέος) είναι μεγαλύτερος του α (αφαιρετέος)·στην περίπτωση αυτή ο β ονομάζεται η διαφορά του α από τον γ και γράφεται: β = γ-α·με το σύμβολο - (διαβάζεται πλην) δηλώνεται η πράξη, η οποία έχει οριστεί προηγουμένως και ονομάζεται αφαίρεση. Αν ο γ είναι ίσος με τον α, τότε η διαφορά είναι 0· εάν ο γ είναι μικρότερος του α, η πράξη δεν είναι εκτελεστή στην περιοχή των φυσικών αριθμών, δηλαδή των θετικών ακεραίων (η πράξη αυτή αποκτά έννοια στην περιοχή των σχετικών ακέραιων αριθμών –θετικών και αρνητικών– και το αποτέλεσμά της είναι τότε ένας αρνητικός αριθμός). Ας θεωρήσουμε τώρα δύο ακέραιους αριθμούς, α και β και ας υπολογίσουμε το άθροισμα τόσων προσθετέων ίσων με τον α (πολλαπλασιαστέος) όσες είναι και οι μονάδες του β (πολλαπλασιαστής). Η πράξη που ορίζεται με αυτό τον τρόπο ονομάζεται πολλαπλασιασμός και το εξαγόμενό της ονομάζεται το γινόμενο του α επί τον β. Οι ρόλοι του πολλαπλασιαστέου και του πολλαπλασιαστή μπορεί να εναλλαχτούν: πράγματι είναι το ίδιο να λάβει κανείς β φορές τον αριθμό α ή α φορές τον αριθμό β· οι α και β ονομάζονται, μονολεκτικά, παράγοντες του πολλαπλασιασμού. Αν γ είναι το γινόμενο του α επί τον β, γράφουμε: γ = α x β ή γ = α·β ή καλύτερα γ = αβ. Ισχύουν ακόμα η μεταθετική ιδιότητα (αβ = βα) και η προσεταιριστική [α·(β·γ) = (α·β)·γ]· ισχύουν επιπλέον οι επιμεριστικές ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση, δηλαδή (με σύμβολα): α·(β + γ) = α·β + α·γ, α·(β - γ) = α·β - α·γ. Ακόμα ισχύει o νόμος μηδενισμού του γινομένου: ένα γινόμενο είναι 0 εάν, και μόνον εάν, ένας τουλάχιστον από τους παράγοντές του είναι ίσος με μηδέν (κατά τον ορισμό του πολλαπλασιασμού είναι τελείως φυσικό να τεθεί 0·α = 0, αλλά ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή, εάν α·β = 0, τότε είναι α = 0 ή β = 0). To αντίστροφο του πολλαπλασιασμού πρόβλημα τίθεται ως εξής: «δοθέντων δύο φυσικών αριθμών γ και α, να βρεθεί αν υπάρχει ο φυσικός αριθμός o οποίος πολλαπλασιαζόμενος επί α δίνει ως γινόμενο τον γ». Γενικά ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει στην περιοχή των ακεραίων, υπάρχει όμως στην ευρύτερη περιοχή των ρητών αριθμών. Στην περίπτωση που υπάρχει και είναι έστω ο β, τότε ονομάζεται πηλίκο της διαίρεσης του γ (διαιρετέος) διά του α (διαιρέτης): η πράξη που ορίζεται με αυτό τον τρόπο ονομάζεται διαίρεση. Με σύμβολα γράφεται β = γ:α ή καλύτερα β = γ/α (διαβάζεται: γ διά α). Ο γ λέγεται τότε διαιρετός με τον α. Μπορεί να υποτεθεί γ = 0·τότε, για κάθε α διάφορο από το 0, είναι γ/α = 0. Δεν έχει όμως έννοια η «διαίρεση διά του 0», δηλαδή δεν μπορεί σε καμιά περίπτωση να υποτεθεί α = 0. Για να είναι ο γ διαιρετός με τον α, είναι αναγκαίο να μην είναι μικρότερός του, αυτό όμως δεν είναι και αρκετό (αντίθετα με ό,τι συμβαίνει στην αφαίρεση). Αν o διαιρετέος γ είναι όχι μικρότερος του διαιρέτη α, είναι πάντοτε δυνατόν να βρεθούν δύο αριθμοί (και μόνο δύο) π και υ, με τον υ μικρότερο του α, έτσι ώστε να είναι γ = α·π + υ·έτσι έχουμε τη διαίρεση με υπόλοιπο (ο υ ονομάζεται υπόλοιπο της διαίρεσης·οι άλλες ονομασίες μένουν αμετάβλητες). Η εύρεση κριτηρίων διαιρετότητας αριθμού γ (οποιουδήποτε, αλλά όχι μικρότερου από άλλον α) με τον α, δηλαδή κανόνων με τους οποίους συμπεραίνει κανείς αμέσως χωρίς εκτέλεση της διαίρεσης, αν ο γ είναι ή όχι διαιρετός με τον α, δεν είναι κάτι εύκολο (αυτό είναι θέμα της θεωρίας των αριθμητικών ισοδυναμιών). Δίνονται εδώ μερικά απλά, γνωστά κριτήρια διαιρετότητας. Ένας αριθμός είναι διαιρετός με το 2, εάν και μόνο εάν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8· με τον 3, εάν και μόνο εάν το άθροισμα των ψηφίων του είναι διαιρετό με τον 3· με τον 4, εάν και μόνον εάν ο αριθμός που αποτελούν τα δύο τελευταία του ψηφία είναι διαιρετός με τον 4· με τον 5, εάν και μόνον εάν ο αριθμός λήγει σε 0 ή 5· με τον 8 είναι διαιρετός κάθε αριθμός και μόνο με την ιδιότητα ότι o αριθμός που αποτελούν τα τρία τελευταία ψηφία του (όπως είναι γραμμένα) είναι διαιρετός με τον 8· με τον 9 είναι διαιρετός ένας αριθμός, εάν και μόνον εάν το άθροισμα των ψηφίων του είναι διαιρετό με τον 9· με τον 11, εάν και μόνον εάν το άθροισμα των ψηφίων άρτιας τάξης και το άθροισμα των ψηφίων του περιττής τάξης είναι ίσα ή, διαιρούμενα με τον 11, δίνουν το ίδιο υπόλοιπο (π.χ. ο 2.453 είναι διαιρετός με τον 11, διότι 2 + 5 = 4 + 3· o 9.141 επίσης, διότι 9 + 4 = 13 και η διαίρεση 13:11 δίνει υπόλοιπο 2 = 1 + 1). Πρώτοι αριθμοί. Ανάλυση σε πρώτους παράγοντες. Ένας αριθμός ονομάζεται πρώτος, όταν είναι διαιρετός μόνο με τον εαυτό του και με τον 1 (ο 1 είναι διαιρέτης όλων των αριθμών). Ο μόνος άρτιος και πρώτος είναι επομένως ο 2. Υπάρχουν όμως άπειροι περιττοί και πρώτοι. Πράγματι, έστω ότι υπάρχουν μόνο ν πρώτοι αριθμοί α₁, α₂,..., α_ν· τότε όμως το γινόμενό τους συν 1, δηλαδή ο αριθμός α₁, α₂,..., α_ν + 1, o οποίος δεν διαιρείται με κάποιον από τους α₁, α₂,..., α_ν (μάλιστα το υπόλοιπό του με τον καθένα είναι 1) δεν είναι πρώτος, συνεπώς θα είχε κάποιον διαιρέτη πρώτο, διάφορο από τους α₁, α₂,..., α_ν, είναι επομένως άτοπο να υποτεθεί ότι η ακολουθία των πρώτων αριθμών διακόπτεται από κάποιον και πέρα. Ο νόμος της κατανομής των πρώτων αριθμών είναι άγνωστος: δεν είναι γνωστός ένας τύπος, με τον οποίο να μπορεί να σχηματιστεί η ακολουθία των πρώτων αριθμών βήμα προς βήμα·οι πρώτοι αριθμοί υπολογίζονται με εμπειρικούς τρόπους, από το αρχαίο κόσκινο του Ερατοσθένη έως τις σύγχρονες ηλεκτρονικές μηχανές. Αν ένας αριθμός δεν είναι πρώτος (σύνθετος αριθμός), τότε είναι πάντοτε δυνατόν, με έναν πεπερασμένο αριθμό πράξεων (διαιρέσεων), να γραφτεί ως γινόμενο πρώτων παραγόντων, διάφορων μεταξύ τους, α₁, α₂,..., α_ν, δηλαδή με εκθέτες, αντίστοιχα κ₁, κ₂,..., κ_ν. Έτσι έχουμε την εξής ανάλυση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες ή, καλύτερα, σε δυνάμεις πρώτων μεταξύ τους και διάφορων παραγόντων: k₁ k₂... k_ν K = α₁ α₂...α_ν Η ανάλυση αυτή είναι μονοσήμαντη, με την έννοια ότι, ανεξάρτητα από τον τρόπο που χρησιμοποιείται κάθε φορά, φτάνει κανείς πάντοτε στους ίδιους πρώτους παράγοντες (ίσως με διάφορη διάταξη, πράγμα χωρίς σημασία, αφού ισχύει για τον πολλαπλασιασμό η μεταθετική ιδιότητα, και με τους ίδιους εκθέτες). Π.χ. εάν κ = 300, τότε είναι α₁= 2, α₂ = 3, α₃ = 5, με αντίστοιχους εκθέτες κ₁= 2, κ₂= 1, κ₃= 2, δηλαδή = 300 =2²·3·5². Η έννοια του πρώτου αριθμού εμφανίζεται στην παραγοντοποίηση· αυτό εξηγεί ίσως τις σοβαρές δυσκολίες, που συναντώνται κατά τη μελέτη αθροισμάτων και διαφόρων πρώτων αριθμών. Επάνω σε αυτό δίνεται ένα μόνο παράδειγμα. Κατά τον 18o αι. ο Γερμανός μαθηματικός Κρίστιαν Γκόλντμπαχ, με βάση παρατηρήσεις που έκανε σε πολλούς άρτιους αριθμούς διατύπωσε την εικασία ότι «κάθε άρτιος αριθμός είναι το άθροισμα δύο πρώτων». Και πράγματι, μέχρι σήμερα δεν γνωρίζει κανείς εάν αυτή η υπόθεση είναι ορθή ή όχι. Όλοι οι έλεγχοι που έγιναν μέχρι σήμερα την επαληθεύουν· το συμπέρ ασμα όμως δεν είναι βέβαιο. Εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (ΜΚΔ) και του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (ΕΚΠ) δύο αριθμών.Ας λάβουμε δύο αριθμούς α και β· κοινός διαιρέτης και των δύο είναι βεβαίως το 1. Ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες των α και β ονομάζεται ΜΚΔ τους. Αν γ είναι ο ΜΚΔ των α και β συμβολίζουμε συνήθως γ = (α,β). Κάθε κοινός διαιρέτης των α και β είναι επίσης διαιρέτης του γ. Αν γ = 1, οι α, β ονομάζονται πρώτοι μεταξύ τους. Οι α και β έχουν ασφαλώς ένα κοινό πολλαπλάσιο, το γινόμενό τους. Ονομάζεται ΕΚΠ των α και β ο αριθμός δ = [α, β], που είναι ο μικρότερος από τα κοινά τους πολλαπλάσια (ο δ διαιρεί κάθε κοινό πολλαπλάσιο των α και β). Η εύρεση τόσο του ΜΚΔ όσο και του ΕΚΠ των α και β μπορεί να στηριχτεί στη σύγκριση των αναλύσεων σε πρώτους παράγοντες των α και β. Πράγματι, o ΜΚΔ προκύπτει από το γινόμενο των διαφόρων μεταξύ τους κοινών πρώτων παραγόντων των α και β, οι οποίοι λαμβάνονται με τον μικρότερο εκθέτη που εμφανίζεται σε αυτούς κατά τις δύο αναλύσεις. Το ΕΚΠ προκύπτει από το γινόμενο όλων των διάφορων μεταξύ τους πρώτων παραγόντων των α και β, που εμφανίζονται στις δύο αναλύσεις, οι οποίοι λαμβάνονται με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Από εννοιολογική άποψη είναι επίσης αξιόλογη η αναζήτηση του μέγιστου κοινού διαιρέτη με τη μέθοδο των διαδοχικών διαιρέσεων, η οποία ανάγεται στον Ευκλείδη (ευκλείδειος αλγόριθμος). Ο ορισμός και o τρόπος εύρεσης του ΜΚΔ και του ΕΚΠ περισσότερων από δύο αριθμών παραλείπονται, διότι ανάγεται χωρίς δυσκολία σε ό,τι έχει ειπωθεί προκειμένου για τους δύο αριθμούς. Λογικά και φιλοσοφικά θεμέλια της α.Η προσπάθεια ενός αξιωματικού ορισμού της ακολουθίας των φυσικών αριθμών, που να στηρίζεται σε μερικές τυπικές της ιδιότητες (π.χ. ύπαρξη και μονοσήμαντο της ύπαρξης ενός άμεσου επόμενου κάθε φυσικού αριθμού κλπ.) άρχισε από τον Ιταλό μαθηματικό Τζουζέπε Πεάνο και έχει οδηγήσει σε πολύ αξιόλογα αποτελέσματα. Έχει θεμελιωθεί π.χ. η μέθοδος της μαθηματικής (ή πλήρους) επαγωγής. Παρ’ όλα αυτά υπάρχουν σοβαροί λόγοι για να παραδεχτεί κανείς ότι αυτή η προσπάθεια προορίζεται αναγκαστικά να μη φτάσει τον κύριο σκοπό της, εφόσον πολλοί σύγχρονοι ερευνητές θεωρούν την ακολουθία των φυσικών αριθμών ως μία κατασκευή η οποία στηρίζεται στην εμπειρία και όχι μόνο στον συλλογισμό, στην καθαρή λογική. Οι διαισθητικοί θεωρούν την ακολουθία των φυσικών αριθμών ως μια «αρχική ενόραση» (πρώτη έννοια), στην οποία στηρίζονται όλα τα μαθηματικά. Άλλοι θεωρούν ως αρχή των φυσικών αριθμών (οι οποίοι δεν είναι παρά μια αφαίρεση) την εμπειρία του υπολογισμού (λογαριασμού). Όμως οι μαθηματικοί πέτυχαν ουσιαστικά τις άλλες θεωρίες περί αριθμών κλπ. με την καθαρή λογική, ξεκινώντας από την ακολουθία των φυσικών αριθμών, των πραγματικών κ.ά., που επιτρέπει με κάποια έννοια να αναχθεί η γεωμετρία στην άλγεβρα, επομένως στην α. Βλ. λ. αρίθμηση, αριθμός, μαθηματικά, πράξεις αριθμητικές, σύνολο.